Heb je geinspecteerd wat mail() voor waarde retourneert?

Indien deze false retourneert ligt het (direct) aan jouw code of instellingen op de eigen webserver.
Indien deze true retourneert heeft PHP in principe zijn taak vervuld.

Voor de beeldvorming: mail() (en daarmee PHP) verstuurt zelf geen mail. PHP draagt het mailverzoek over aan een ander proces wat de afhandeling van het versturen verder verzorgt.

Waaruit concludeer je dat specifiek het verzenden niet lukt?

Heb je geprobeerd gewoon een statisch mailtje te versturen?
Heb je je errorlogs geinspecteerd / errors aangezet om te zien of er iets anders misgaat?
Hoe luidt de waarde van $email?

Er kan zoveel misgaan vanaf het verzenden tot en met de ontvangst, heb je bijvoorbeeld je spambox al gecontroleerd? En als je op een goedkope host zit hoef je waarschijnlijk ook niet te verwachten dat mail binnen een paar seconden wordt verstuurd.

Indien mail niet aankomt zul je dit stap voor stap moeten debuggen om te zien waar dit precies misgaat.

Je zou PHPMailer kunnen gebruiken om enerzijds rechtstreeks met de SMTP-server te communiceren en anderzijds dit pakket kunnen gebruiken om fatsoenlijke MIME e-mailberichten op te stellen.